\documentclass[8pt,a4paper]{scrartcl}

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\geometry{left=8mm,right=8mm, top=10mm, bottom=5mm, paperwidth=210mm, paperheight=297mm}
\fancyhf{}																								%Kopf-/Fu?zeilenfelder leeren
\pagestyle{fancy}																						%Seitenstil auf fancy setzen
\fancyhead[L]{SR}																					%im Kopf links den Titel schreiben
\fancyhead[R]{\copyright \hspace{1mm}Lst Ökonometrie, Uni Regensburg, Nov 2012}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}																				%Im Kopf rechts die Seitenzahl setzen
\fancypagestyle{plain}{}																					% damit auch "plain" Seiten fancy werden
\setlength{\headheight}{14.5pt}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6. Sonstiges
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\setlength{\parindent}{0mm}
\input xy
\xyoption {all}
\usepackage[all, knot]{xy}
\usepackage{tabularx}				% zusätzliche Optionen in \begin{tabular} ... \end{tabular}
	\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash}p{#1}} 	% linksbündig mit Breitenangabe z.B. L{3cm}
	\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}} 	% zentriert mit Breitenangabe z.B. C{3cm}
	\newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash}p{#1}} 	% rechtsbündig mit Breitenangabe z.B. R{3cm}
	\usepackage{longtable}				% ermoeglicht Tabellenumbruch ueber mehrere Seiten
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 7. Body
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\begin{document}	
\vspace{-2.5cm}
\section*{Interpretation der Regressionskoeffizienten}
Da wir Parameter einzeln bzw. in gleichen Einheiten interpretieren, reicht es ein simples lineares Regressionsmodell für die verschiedenen Interpretationsformen der Parameter zu betrachten. \\
Was ist notwendig, um Parameter interpretieren zu können?
\begin{itemize}
\item Die Annahmen für die asymptotischen oder exakten Tests.
\item Parameter ist theoretisch und statistisch signifikant. 
\end{itemize}

Zwei wichtige Definitionen:
\begin{itemize}
\item "`c.\,p.\,"' steht für ceteris paribus, was wörtlich "`bei gleichen sonstigen"' bedeutet und man im multiplen (!) linearen Regressionsmodell (und nicht wie hier im simplen linearen Regressionsmodell, deswegen in Klammern) deswegen anfügt, da es damit möglich ist die Werte aller erklärenden Variablen \textbf{ausser einer} (d.\,h.\,insbesondere auch Interaktionen) kostant zu halten und zu prüfen, wie sich der bedingte Erwartungswert der erklärten Variablen verändert (Äquivalenz zum Manipulieren einer Kontrollvariable in einem kontrollierten Zufallsexperiment).
\item "`im Durchschnitt"' oder "`durchschnittlich"' steht für die Interpretation des bedingten Erwartungswerts (und nicht zum Beispiel des bedingten Quantils).
\item "`approximativ"' und "`exakt"' stehen für den angenäherten bzw. mit der Formel exakt berechneten Effekt im "`log-level"'-Fall. 
\end{itemize}
Übersicht:
\begin{center}
\begin{tabular}{|C{5cm}|C{1.6cm}|C{1.4cm}|C{9cm}|} \hline \hline
Modell & Regressand & Regressor & Interpretation \\ \hline 
Level-Level \newline  $y=\beta_0 + \beta_1 x + u$ &  $y $ & $x$  & $\Delta\text{E}[y\mid  x] = \beta_1 \Delta x$ \newline Erhöht man $x$ um eine Einheit, so verändert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$ um $\beta_1$ Einheiten. \\ \hline
Log-Level \newline  $\log_e(y)=\beta_0 + \beta_1 x + u$ &  $\log_e(y) $ & $x$  & $\frac{\Delta\text{E}[y\mid  x]}{\text{E}[y\mid  x]}\approx \beta_1 \Delta x  \hspace{0.2cm}\Leftrightarrow  \hspace{0.2cm}\%\Delta\text{E}[y\mid  x] \approx 100\beta_1 \Delta x$ \newline Erhöht man $x$ um eine Einheit, so verändert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$  \textbf{approximativ} um $100 \cdot \beta_1 \%$. \newline Erhöht man $x$ um eine Einheit, so verändert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$ \textbf{exakt} um $100 \cdot (e^\beta_1 -1)\%$. \newline Unterschiede werden bei Werten $\mid \beta_1 \mid >0.3$ bemerkbar.   \\ \hline
Level-Log \newline  $y=\beta_0 + \beta_1 \log_e(x) + u$ &  $y$ & $\log_e(x)$  & $\Delta\text{E}[y\mid  x]\approx \beta_1 \Delta \log_e(x)  \Leftrightarrow  \Delta\text{E}[y\mid  x] \approx \beta_1/100\% \Delta x $ \newline Erhöht man $x$ um ein Prozent, so verändert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$ (\textbf{approximativ}) um $\beta_1/100$ Einheiten. \newline  Hierbei benötigt man \textbf{keine} exakte Interpretation, da bei einer einprozentigen Erhöhung die Abweichung durch die $\log_e$-Annäherung marginal ist.\\ \hline
Log-Log \newline  $\log_e(y)=\beta_0 + \beta_1 \log_e(x) + u$ &  $\log_e(y) $ & $\log_e(x)$  & $\frac{\Delta\text{E}[y\mid  x]}{\text{E}[y\mid  x]}\approx \beta_1 \frac{\Delta x}{x} \hspace{0.2cm}\Leftrightarrow  \hspace{0.2cm}\%\Delta\text{E}[y\mid  x] \approx \beta_1 \%\Delta x$ \newline Erhöht man $x$ um ein Prozent, so verändert sich (c.\,p.), im Durchschnitt $y$  um $\beta_1 \%$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}