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\fancyhead[R]{\copyright \hspace{1mm}Lst Ökonometrie, Uni Regensburg, Nov 2012}
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\begin{document}	
\section*{Grundlegende Definitionen in der Wahrscheinlichkeitstheorie}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|p{7.3cm}|p{7.1cm}|}
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Begriff & Definition / Bezeichnung & Zusammenhang / Eigenschaften / Beispiele \\
\hline \hline
Ergebnismenge $\Omega$ & (Endlich) abzählbare oder überabzählbare Menge aller (Elementar-) Ergebnisse $\omega \in \Omega$ & z. B. $\Omega =[0,1], \Omega=\lbrace 0,1\rbrace, \Omega=\R, \Omega=\R^+,$ \newline $\Omega=\lbrace rot, gelb, blau, schwarz \rbrace$ \\\hline

Ereignis $A$ & Beliebige Teilmenge $A \subset \Omega$ \newline bzw. Element der Potenzmenge von $\Omega$: $A\in \mathcal{P}(\Omega)$ & z. B. $A=\lbrace \omega\rbrace, A=\emptyset, A=\Omega$, $A=\lbrace rot, gelb, blau \rbrace \subset \Omega$ \\\hline

Zufallsvariable (ZV) $X$ & Eine Zufallsvariable ist eine Funktion $X:\Omega \mapsto \R$; \newline  $X(\omega) \in \R$ heißt Realisation; \newline Ist diese Funktion stetig (diskret), so nennt man die Zufallsvariable stetig (diskret) & z. B. Münzwurf: $X(\text{Kopf})=1,X(\text{Zahl})=0$ ist diskret; \newline Temperatur: $X(\text{Temperatur in Celsius}) \in \R$ wäre stetig (indem man jeder Grad Celsius Zahl deren Skalar zuordnet)\\ \hline

Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$ \newline (probability function) & Funktion $P:\calF \mapsto [0,1]$ wobei $\calF$ eine "`geeignete"' Menge von Ereignissen ist und $P$ folgende Eigenschaften erfüllt:\newline 1. $P(A) \geq 0 \hd \forall A \in \calF$ (ungenauer $A \subset \Omega$) \newline 2. $P(\Omega)=1$ und $P(\emptyset)=0$ \newline 3. Wenn $A_1, A_2, ...$ paarweise disjunkt sind, dann gilt: $P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i)=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$ &  Statt $P(\lbrace \omega \in \Omega \mid X(\omega)=x\rbrace)$ kann man auch \newline $P(X(\omega)=x)$ oder $P(X=x)$ schreiben. \newline Im Fall einer stetigen ZV gilt $P(X=x)=0$ \newline $\calF$ nennt man auch Sigmaalgebra. bwinÓéÀÖ_bwinÓéÀÖ¹ÙÍø»¶Ó­Äú@ ist grob gesagt eine Teilmenge der Potenzmenge mit besonderen Eigenschaften. 
\\
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Verteilungsfunktion $F_X$ \newline (cumulative density function CDF) \newline einer Zufallsvariable $X$ \newline (Univariater Fall) & Funktion $F:\calF \mapsto [0,1]$ definiert durch $F_X(x):=P(X\leq x)$ mit den Eigenschaften:\newline 1. $\lim_{x \to -\infty} F_X(x)=0$ und $\lim_{x \to \infty}F_X(x)=1$ \newline 2. $F_X(x)$ ist monoton steigend und rechtsseitig stetig \newline 3. $P(a<X\leq b)=F_X(b)-F_X(a)$ \newline 4. Falls $X$ stetig ist, gilt: $F_X(x)=P(X\leq x) = P(X<x)$ &  Diskreter Fall: $F_X(x)=\sum_{x_i\leq x}P(X=x_i)$ \newline Da im stetigen Fall $P(X=x)=0 \hd \forall x \in \R$ gilt, kann man den Begriff der Dichte einführen und die Wahrscheinlichkeit als Fläche unter dieser Dichte $f_X(x)$ betrachten: \newline Stetiger Fall: $F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)dt$ \newline (in gewisser Weise verallgemeinert das Integral die unendliche Summe von abzählbare Mengen auf überabzählbare)\\ \hline

Dichtefunktion und \newline Verteilungsfunktion \newline (nur im stetigen Fall!)& Die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilung, d. h. \newline $f_X(x):=\frac{dF_X(x)}{dx}$ bzw. umgekehrt ist die Verteilung das Integral der Dichte (eindeutig mit $F_X("`\infty"')=1$), also: \newline $F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)dt$ & Beispiel Normalverteilung $X\sim N(\mu, \sigma^2)$: \newline Dichte $f_X(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left(-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)$ \newline Verteilung: $F_X(x)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left(-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\right) dt$ \\ \hline

Multivariate Verteilungen \newline (joint probability distribution - JDF) \newline Verteilung ist nun von mehreren ZVen $X_1, ..., X_n$ abhängig & Will man untersuchen, wie Wahrscheinlichkeiten \newline $P(\lbrace X_1=x_1\rbrace \cap ... \cap \lbrace X_m=x_m \rbrace)$ für den gleichzeitigen Eintritt mehrerer Ereignisse aussehen, so definiert man analog die gemeinsame Verteilungsfunktion \newline $F_{X_1,...,X_m}(x_1,...,x_m):= P(X_1\leq x_1, ..., X_m\leq x_m)$ \newline  bzw. $F_{X_1,...,X_m}(x_1,...,x_m)=P(\lbrace X_1\leq x_1\rbrace \cap ...\cap \lbrace X_m\leq x_m\rbrace)$  & Man erhält die Randverteilung (bzw. marginale Wahrscheinlichkeitsverteilung) aus der multivarianten auf folgende Weise: \newline $F_{X_j}(x)=F_{X_1,...,X_m}(\infty, ..., x , ...,\infty)$ \newline und analog die Randdichte $f_{X_j}(x):=\frac{dF_{X_j}(x)}{dx}$ \newline Ist die gem. Verteilung stetig differenzierbar, so kann man auch die gemeinsame Dichte bilden: \newline $f_{X_1,...,X_m}(x_1,...,x_m):=\frac{\partial^m F_{X_1,...,X_m}(x_1,...,x_m)}{\partial x_1 ... \partial x_m}$\\ \hline

Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Verteilungen und Dichten & Falls man wissen will, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist, aussieht, so definiert man:\newline  $P(X=x|Y=y):=\frac{P((X=x)\cap (Y=y))}{P(Y=y)}$ \newline Die Verteilungsfunktion wird dann wieder definiert als: $F_{X|Y}(x):=P(X\leq x | Y)$\newline Da im stetigen Fall $P(X|Y)=0$ gilt, benötigt man die Definition einer bedingten Dichte: $f_{X|Y}(x|Y=y):=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}$ & Diskreter Fall: $F_{X|Y}(x|y)=\sum_{x_i\leq x} P(X=x_i |Y=y)$ \newline Stetiger Fall: $F_{X|Y}(x|y)=\int_{-\infty}^{x} f_{X|Y}(X=t | Y=y) dt$\newline  Zusammenhang zur Verteilung: \newline Diskreter Fall: $F_X(x)=\sum_{y_i} F_{X|Y}(x|y_i) P(y_i)$ \newline Stetiger Fall: $F_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} F_{X|Y}(x|y)f_Y(y)dy$  \newline (Man erhält die Verteilung, indem man über alle Bedingungen die gemeinsame Verteilung multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit bzw. Dichte summiert bzw. integriert)  \\ \hline

Kennzahlen von ZVen: \newline Momente \newline (allgemeine und zentrierte) & Für $k \in \N$ heißt $m_k(X):=E[X^k]$ $k-$tes Moment der ZV $X$ und $\tilde{m}_k:=E\left[(X-m_1(X))^k\right]$ $k-$tes zentriertes Moment \newline (= Verallgemeinerungen von Erwartungswert und Varianz)  & Diskreter Fall: $m_k(X):=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^k \cdot P(X=x_i)$ bzw. \newline $\tilde{m}_k(X):=\sum_{i=1}^{\infty} (x_i-m_1(X))^k \cdot P(X=x_i)$ \newline Stetiger Fall: $m_k(X):=\int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_X(x)dx$ bzw. \newline  $\tilde{m}_k(X):=\int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_1(X))^k \cdot f_X(x)dx$\\ \hline
Erwartungswert \newline $\mu=E[X]=m_1(X)$ & Diskret: $E[X]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i \cdot P(X=x_i)$ & Stetig: $E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f_X(x)dx$ \\ \hline
Varianz (Variance) \newline $\sigma^2=Var(X)=\tilde{m}_2(X)$ & Diskret: $Var(X)=\sum_{i=1}^{\infty} (x_i-\mu)^2 \cdot P(X=x_i)$ & Stetig: $Var(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 \cdot f_X(x)dx$ \\ \hline
Schiefe (Skewness) \newline $\nu=v(X)=\tilde{m}_3(X)/\sigma^3$ & Diskret: $v(X)=\left(\sum_{i=1}^{\infty} (x_i-\mu)^3 \cdot P(X=x_i)\right)/\sigma^3$ & Stetig: $v(X)=\left(\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^3 \cdot f_X(x)dx\right)/\sigma^3$ \\ \hline
Wölbung (Kurtosis) \newline $\kappa=w(X)=\tilde{m}_4(X)/\sigma^4$ & Diskret: $w(X)=\left(\sum_{i=1}^{\infty} (x_i-\mu)^4 \cdot P(X=x_i)\right)/\sigma^4$ & Stetig: $w(X)=\left(\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^4 \cdot f_X(x)dx\right)/\sigma^4$ \\ \hline
Bedingte Momente  & Analog zu den vorher eingeführten Momenten kann man auch bedingte Momente definieren, in dem man statt der Wahrscheinlichkeit die bedingte Wahrscheinlichkeit und statt der Dichte die bedingte Dichte benutzt  & Diskret: $m_k(X|Y=y):=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^k \cdot P(X=x_i|Y=y)$ \newline Stetig:  $m_k(X|Y=y):=\int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X|Y}(x|Y=y)dx$ \\ \hline
Bedingter Erwartungswert $E[X|Y]$  &  Entsprechend dem Zusammenhang zwischen unbedingten und bedingten Wahrscheinlichkeiten existiert ein ähnlicher Zusammenhang auch bei den Erwartungswerten: $E[X]=E[E[X|Y]]$ & Diskret: $E[X|Y]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i \cdot P(X=x_i|Y=y)$ \newline Stetig:  $E[X|Y]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f_{X|Y}(x|Y=y)dx$ \\ \hline
$q-$Quantile   & Sei $q \in [0,1]$, dann ist das $q-$Quantil ein Wert einer Zufallsvariablen, der die Menge aller Merkmalswerte in zwei Abschnitte unterteilt. Links liegen $q\cdot 100\%$ aller Beobachtungswerte bzw. der Fläche der Verteilungskurve, rechts der restliche Anteil. & Wichtige Quantile sind Median $(=Q_{0,5})$, Quartile $(=Q_{0,25}, Q_{0,5}, Q_{0,75})$, Quintile $(=Q_{0,2}, Q_{0,4},...)$, Dezile $(=Q_{0,1}, Q_{0,2}, ...)$ und Perzentile $(=Q_{0,01}, Q_{0,02}, ...)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}